[최단 경로] 다익스트라, 플로이드워셜 이론

1️⃣ 다익스트라

✅ 언제 사용? 음의간선 없을때 한지점에서 특정지점까지 최단거리 구할 때 사용

✅ 시간복잡도(개선된) :  O(elogv) (100만 정도) (경우에 따라 BFS로도 풀 수 있음; 인접리스트: O(e+v),인접행렬  O(v^2))

✅ 원리 :

1) 출발노드 선정 -> 2) 최단거리 테이블 ∞로 초기화 (출발노드는 0으로)
-> 3) 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 짧은 노드 선택 (처음엔 출발노드, 최단 거리가 0이니까)

-> 4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

-> 3),4) 반복

✅ 최적화: 힙 사용(거리 가장 짧은 노드), 방문처리 대신 테이블에 기록된 거리와 비교하여 큰 경우 PASS

✅ 기본 코드:

import heapq

# sys.stdin.readline() 이란 파이썬 내장 함수로 input()을 치환하면,
# 입력 데이터 수가 많아도 빠르게 동작 가능하다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heqpq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print(“INFINITY”)
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

2️⃣ 플로이드워셜

✅ 언제 사용? 모든 지점에서 다른 모든 지점까지 최단경로를 구할때

✅ 시간복잡도 :  O(V^3) (100-200 정도) 

✅ 원리 :

1) (초기화) 2차원 리스트 ∞로 초기화 -> 자기자신으로 가는 경로 0으로 초기화 -> 간선에대한 비용으로 초기화

2) K번 노드를 거쳐가는 경우와 비교 graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

✅ 기본 코드:

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에게 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if a == b:
        	graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
	# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
    	for b in range(1, n+1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
        	print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
        	print(graph[a][b], end=" ")
    print()